La mente umana non riesce a concepire l'assoluta continuità del moto. Le leggi di qualsiasi movimento si rendono comprensibili all'uomo solo quando egli osserva come a sé stanti alcune unità di questo movimento. Ma è proprio da questa arbitraria divisione della continuità del moto in unità discontinue che deriva gran parte degli errori umani.
È noto l'antico sofisma secondo cui Achille non raggiungerà mai la tartaruga che gli cammina davanti, sebbene Achille proceda dieci volte più veloce della tartaruga; quando Achille avrà percorso lo spazio che lo divide dalla tartaruga, la tartaruga avrà percorso un'altra decima parte dello stesso spazio; Achille percorrerà questa decima parte e nel frattempo la tartaruga ne percorrerà una centesima parte, e così via all'infinito. Questo problema appariva insolubile agli antichi. L'assurdità della conclusione (Achille non raggiungerà mai la tartaruga) derivava unicamente dal fatto che si consideravano, in modo arbitrario, unità discontinue di moto, mentre il moto di Achille e della tartaruga avveniva in modo continuo.
Prendendo unità di moto sempre più piccole, noi non facciamo che avvicinarci alla soluzione del problema, ma non la raggiungeremo mai. Solo ammettendo una grandezza infinitamente piccola, e una progressione ascendente da essa fino al decimo grado, e riferendoci alla somma dei termini di questa progressione geometrica, possiamo raggiungere la soluzione del problema. La nuova branca della matematica che ha trovato il modo di trattare le grandezze infinitamente piccole, suggerisce oggi risposte che prima sembravano impossibili, anche per problemi più complessi.
Questa nuova branca della matematica, sconosciuta agli antichi, nel momento in cui ammette, a proposito dei problemi del moto, grandezze